(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;

　　　(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞

　　　(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.

　　　本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

　　　（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是

　　　（Ⅱ）证法一：因

　　　　　证法二：因

　　　　　而

　　　　　　故只需对和进行比较。

　　　　　　令，有

　　　　　　由，得

　　　　　　因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值

　　　　　　故当时，，

　　　　　　从而有，亦即

　　　　　　故有恒成立。

　　　　　　所以，原不等式成立。

　　　　（Ⅲ）对，且

　　　　　有

　　　　　又因，故

　　　　　∵，从而有成立，

　　　　　即存在，使得恒成立。

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